$\vec{\nabla} \cdot \vec{r}=\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right) \cdot(3 x \hat{i}+2 y \hat{j}+4 z \hat{k})$
$=3+2+4=9$

ভেক্টর গুণন এর ক্ষেত্রে টর্ক ,$\overrightarrow{\mathrm{\tau}}=\overrightarrow{\mathrm{r}} \times \overrightarrow{\mathrm{F}}$
কৌণিক ভরবেগ, $\overrightarrow{\mathrm{L}}=\overrightarrow{\mathrm{r}} \times \overrightarrow{\mathrm{P}}$ ; রৈখিক বেগ, $\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{\omega}} \times \overrightarrow{\mathrm{r}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}$
$=\left|\begin{array}{rrr} \hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 4 \end{array}\right|$
$=-10 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}$
ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|$
$=\frac{1}{2} \sqrt{10^{2}+5^{2}}=5.59$

$A=\sqrt{4^{2}+3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{26}$

$\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}=0 \Rightarrow \mathrm{a}=6$

$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{\vec{P} \vec{Q}}{|\vec{P}||Q|}\right)$
$=\cos ^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{45} \times \sqrt{14}}\right) \therefore \theta=101.49^{\circ}$

$\frac{1}{a}=\frac{-3}{6} \quad \therefore a=-2$

$\mathrm{AB} \cos \theta=\mathrm{AB} \sin \theta$
$\tan \theta=1 \therefore \theta=\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$

$\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}=(2 \hat{i}+4 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}})+(\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}})$
$=3 \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$
$\therefore|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{3^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}=7$

$P+Q=12$........(1)
$P-Q=2$.......(2)
(1) + (2) হতে, $2 P=14 \Rightarrow P=7$ একক
(1) - (2) হতে, $2 Q=10 \Rightarrow Q=5$ একক

$\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{Q}}$
$=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|$
$=-\hat{\hat{i}}-5 \hat{j}$

স্কেলার গুনফল বিনিময় সূত্র মেনে চললেও ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।

$A \cos \theta=\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$
$=\frac{6+12+10}{\sqrt{36+9+4}}=4$

টানার ক্ষেত্রে ওজন$=\mathrm{W}-\mathrm{F} \sin 30^{\circ}$
ঠেলার ক্ষেত্রে ওজন $=\mathrm{W}+\mathrm{F} \sin 30^{\circ}$
পার্থক্য $=\mathrm{W}+\mathrm{F} \sin 30^{\circ}- (\mathrm{W}-\mathrm{F} \sin 30^{\circ}) =20 N$

কোন ভেক্টর এর কার্ল শূন্য হলে ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল হয়।

ধরি, অপর বলটি, Q
$10^{2}=10^{2}+Q^{2}+2.10 . Q \cos 120^{\circ}$
$\Rightarrow Q^{2}-10 Q=0 \Rightarrow Q=0\hspace{1mm} বা\hspace{1mm} 10$ N

$W=\vec{F} \cdot \vec{r}=(2 \hat{i}-\hat{j}-k)(3 \hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})+6-2+5=9 J$

$V_{E}=V \cos \theta=30 \times \cos 45$
$=21.21\hspace{1mm} \mathrm{kmhr}^{-1}$

$t=\frac{d}{v \sin a}=\frac{2}{4 \times \sin 30^{\circ}}=1 \mathrm{hr}$

$\mathrm{Y}=\frac{\mathrm{FL}}{\mathrm{Al}} \therefore \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{Yl}}{\mathrm{L}}$
$\frac{4 \times 10^{11} \times 7.5}{100}$
$=3 \times 10^{10}\hspace{1mm} \mathrm{Nm}^{-2}$

দুধের পৃষ্ঠটান ও সান্দ্রতা উভয়ই পানি অপেক্ষা বেশি বলে তা কাচ পৃষ্ঠের উপর কম ছড়ায়।

তরলের তাপমাত্রা বৃদ্ধির সাথে সাথে সান্দ্রতা সহগ এর মান হ্রাস পায়। তরলের ক্ষেত্রে $\log \eta \propto \frac{1}{T}$ ও গ্যাসের ক্ষেত্রে $\eta \propto \sqrt{T}$

তরলে অজৈব পদার্থ দ্রবীভূত থাকলে পৃষ্ঠটান বৃদ্ধি পায, জৈব পদার্থ দ্রবীভূত থাকলে পৃষ্ঠটান হ্রাস পায়।

যেহেতু পয়সনের অনুপাত একই প্রকার দুটি রাশির অনুপাত তাই এর কোন মাত্রা ও একক নেই।

একই পদার্থের বিভিন্ন অণুর মধ্যে পারস্পরিক আকর্ষণ বলকে সংসক্তি বল বলে। বিভিন্ন পদার্থের অণুগুলোর মধ্যে পারস্পরিক আকর্ষণ বলকে আসঞ্জন বল বলে।

অসহ পীড়ন = $\frac{অসহ বল}{ক্ষেত্রফল}$
$\Rightarrow P=\frac{F}{A}=\frac{m g}{A}$
$\Rightarrow m=\frac{P A}{g}=\frac{2.5 \times 10^{5} \times 0.002}{9.8}=\frac{500}{9.8} \mathrm{~kg}$

$P=\frac{F}{A}=N / m^{2}$

পানির ঘনত্ব $4^{\circ} \mathrm{C}$ এ সবচেয়ে বেশি।

পয়সনের অনুপাতের মান -1 অপেক্ষা কম এবং $\frac{1}{2}$ অপেক্ষা বেশি হতে পারে না। অর্থাৎ, $-1<\sigma<\frac{1}{2}$

পৃষ্ঠটানের জন্য কলমের কালির প্রবাহ ঘটে/কর্পুর পানিতে ভাসে/সূচ পানিতে ভাসে।

পৃষ্ঠটানের কয়েকটি ঘটনা - পানির উপর দিয়ে পোকামাকড় হাটা, তরলের পৃষ্ঠে সুই ভেসে থাকা, পানি কচু পাতা ভিজায় না, অশান্ত সমুদ্রকে শান্ত করা, ছাতার কাপড়ে বৃষ্টির ফোঁটা প্রবেশ করতে না পারা ।

$\gamma = \frac {1}{\pi \sigma ^2 N} = \frac{1}{3.14 \times (2 \times 10^{-8})^2 \times 3 \times 10^19}$
$= 2.65 \times 10^{-5}$ $\sim 3 \times 10^{-5} cm$

দ্বি পারমাণবিক গ্যাসের (যেমনঃ $O_2, N_2, CO_2$ ইত্যাদি) একটি অণুর স্বাধীনতার মাত্রা 5, অতএব প্রতিটি অণুর গড় গতিশক্তি = $\frac{5}{2} KT$

$\frac{C_2}{C_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ $=\sqrt{\frac{2T_1}{T_1}}$
$\Rightarrow C_2 = 1.41C_1$

$\frac{PV}{(273 + 20)} = \frac{2P \times 2V}{T}$
$\Rightarrow T = 4 \times 293 = 1172\hspace{1mm} K$
$899^{\circ} C \approx 900^{\circ} C$

$T = 300 K$
$k = 1.38 \times 10^{-23} J/K$
$\therefore E_{k} = \frac{3}{2} KT = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300$
$= 6.21 \times 10^{-21} J$

$\frac{H\hspace{1mm} অণুর\hspace{1mm} rms} {O\hspace{1mm} অণুর\hspace{1mm} rms}$
$= \sqrt{\frac{M_0}{M_1}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$

$\gamma \propto \frac{1}{\rho}$

$C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$= \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 273}{32 \times 10^{-3}}} = 461 m/s$

$c = \sqrt{\frac{c_2^1 + c_2^2 + c_3^2}{n}}$
$= \sqrt{\frac{(25)^2 + (30)^2 + (35)^2}{3}} = 30.27 m/s$

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

পরম শূন্য তাপমাত্রায় গ্যাসের অণুগুলো স্থির অবস্থায় থাকবে। অর্থাৎ গতিশক্তি শূন্য হবে।

গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি নির্ভর করে তাপমাত্রার উপর।

নিম্নরূপ বিষয়ের উপর বাস্পায়ন নির্ভর করেঃ
1. তরলের উপর বায়ু প্রবাহ বৃদ্ধি পেলে বাস্পায়ন দ্রুত হয়।
2. তরলের প্রকৃতির উপর বাস্পায়ন নির্ভর করে।
3. বায়ুর উষ্ণতা বা তাপমাত্রা বৃদ্ধি পেলে বাস্পায়ন দ্রুত হয়।
4. বায়ুর আর্দ্রতার উপর বাস্পায়ন নির্ভর করে না।
5. বাস্পায়ন তরলের তাপমাত্রা, তরলের উপর চাপ এবং তরলের উপরিতলের ক্ষেত্রফলের উপর নির্ভর করে।

আপেক্ষিক আর্দ্রতা = $\frac{17.5}{20.0} \times 100$
= 87.5%

$R = \frac{f}{F} \times 100$
$\Rightarrow F = \frac{f}{R} \times 100 = \frac{9.21}{75} \times 100$
= 12.28 mmHg P

$K_{k} = \frac{3}{2} nRT$
$\frac{3}{2} \times \frac{22}{44} \times 8.31 \times 400$
= 2493 J

তাপমাত্রা বাড়লে অর্ধ পরিবাহীর রোধ কমবে কিন্তু পরিবাহিতা বাড়বে।

$\alpha = \frac{\beta}{1 + \beta} = \frac{100}{1 + 100} = 0.99$

$\beta = \frac{1}{1 - \alpha} = \frac{0.95}{1 - 0.95} = 19$

ট্রানজিস্টর বিবর্ধক এবং সুইচ হিসাবে ব্যবহৃত হয়।

ট্রানজিস্টর বর্তনীর মৌলিক বিন্যাস তিনটি-
১। কমন ইমিটার (CE)
২। কমন বেস (CB)
৩। কমন কালেক্টর (CC)

NOR গেট ও NAND গেট দিয়ে AND, OR এবং NOT গেট বাস্তবায়ন করা যায়, তাই NOR ও NAND গেটকে সার্বজনীন গেট বলা হয়।

NOT গেটের যে কোনো একটি ইনপুট '1' হলে আউটপুট সবসময় '0' এবং ইনপুট '0' হলে আউটপুট '1' হবে।

$I_{E} = I_{B} + I_{C}$
$\Rightarrow I_{B} = (I_{E} - I_{C})$
$= (20 - 18) = 2$mA

n-type সেমিকন্ডাক্টর = পঞ্চযোজী মৌল (P, A, Sb, Bi)
p-type সেমিকন্ডাক্টর = ত্রিযোজী মৌল (B, Al, Ga, In)

n-type অর্ধপরিবাহীতে -
$\rightarrow$ Majority charge carrier হলো - Electron
$\rightarrow$ Minority charge carrier হলো - Hole

ডায়োড তৈরি করার জন্য প্রয়োজন একটি n-type এবং একটি p-type সেমিকন্ডাক্টর।

$(111)_2 = 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$
$= 4 + 2 + 1 = 7$
$\therefore (111)_2 = (7)_{10}$

$(1001)_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$
$= 8 + 0 + 0 + 1 = 9$
$\therefore (1001)_2 = (9)_{10}$

$-273^{\circ}$ বা 0K তাপমাত্রাকে পরমশূন্য তাপমাত্রা বলা হয় এই তাপমাত্রায় অর্ধপরিবাহী অন্তরক হিসেবে কাজ করে।